GIMNASIA MENTAL 1

ACTIVIDAD 1

Descomponer números
*Uno de los mayores entretenimientos matemáticos es el de descomponer un cierto número de varias formas. Por ejemplo, ¿sabías que el número 1729 es el primer número que se descompone como suma de dos cubos perfectos, de dos maneras distintas?. Efectivamente, puedes comprobar que 1729=103+93=123+13

*Prueba tu habilidad con los números:
a)¿Sabrías escribir el número 10 de dos formas distintas empleando cuatro nueves?
b)¿Sabrías escribir el número 100 de cuatro modos distintos empleando cinco cifras iguales?. Ejemplo: 100=111-11.
c)¿Puedes escribir el número 30 con tres treses?. ¿Y con tres seises?. ¿Y con tres cincos?.

ACTIVIDAD 2

Problema de las edades

Dos amigos mantienen esta conversación: -¿Cuántos años tienen ya tus tres hijos?-pregunta el primero. -Seguro que lo aciertas -contesta el segundo-. El producto del número de años que tienen es 36 y su suma es igual al número de tu casa.-Me falta un dato -dice el primero transcurrido un instante. -Ah, ¡es verdad! -reconoce el segundo-. La mayor toca el piano.
¿Sabrías decir las edades de los tres hijos?.

ACTIVIDAD 3

Jugando con números
Te planteo este sencillo juego. -Escribe un número de tres cifras distintas.(Por ejemplo 136.)
-Escríbelo en orden inverso (631).
-Resta del mayor el menor (631-136=495)
-Si tu me dices la cifra de las unidades, yo adivino el valor de la resta.
¿Crees que es posible?.

ACTIVIDAD 4

Seguimos jugando con números
-Piensa un número de tres cifras y escríbelo.
-Escribe el mismo número a continuación del anterior. Habrás obtenido un número de seis cifras. -Comprueba si ese número es divisible entre 7 haciendo la operación.
-Averigua si el nuevo cociente es divisible entre 11. Divídelo.
-Divide el nuevo cociente entre 13.
-¿Has obtenido como cociente el número pensado?

ACTIVIDAD 5

La herencia del Jeque Un Jeque árabe tenía tres hijos y les dejó al morir 17 camellos, con el mandato expreso de que habían de repartirlos sin matar ningún camello, y de la manera siguiente: El mayor recibirá la mitad; el segundo, la tercera parte, y el menor, la novena parte.Los hijos del Jeque, al querer hacer el reparto,se dieron cuenta de que para poder cumplir la voluntad de su padre no había mas remedio que descuartizar algunos camellos. Acudieron al cadí, y éste les pidió un día para pensarlo. Pasado ese día, acudió el cadí con un camello suyo y lo unió al grupo de los 17 camellos, y propuso que se procediera a cumplir la voluntad del Jeque sobre esta herencia aumentada. Así, el mayor tomó 9 camellos; el segundo, 6, y el menor, 2. Al terminar el reparto el cadí volvió a llevarse su camello y dejó a los tres hermanos contentos.
Explica la solución dada por el cadí.

Soluciones:

SOLUCIONES ACTIVIDAD 1
*Prueba tu habilidad con los números: a)¿Sabrías escribir el número 10 de dos formas distintas empleando cuatro nueves? 10=(9x9+9)/9 10=(99-9)/9
b)¿Sabrías escribir el número 100 de cuatro modos distintos empleando cinco cifras iguales?. Ejemplo: 100=111-11. 100=33x3+(3/3) 100=[(44-4)/4]raíz cuadrada de 4
c)¿Puedes escribir el número 30 con tres treses?. ¿Y con tres seises?. ¿Y con tres cincos?. 30=33-3 30=6x6-6 30=5x5+5

SOLUCIÓN ACTIVIDAD 2
En primer lugar descomponemos el número 36 como producto de tres números naturales y calculamos la suma de los tres factores: 36= 1.1.36 (suma 38) 36= 1.2.18 (suma 21) 36= 1.3.12 (suma 16) 36= 1.4.9 (suma 14) 36= 1.6.6 (suma 13) 36= 2.2.9 (suma 13) 36= 2.3.6 (suma 11) 36= 3.3.4 (suma 10)
Naturalmente, nuestro amigo conoce el número de su casa. Entonces, ¿porqué dice que le falta un dato?. Evidentemente, el número de su casa es el 13 que es la única suma repetida en la serie anterior y en consecuencia necesita conocer algo mas sobre los hijos de su amigo. Quizás desconcierte un poco la respuesta de su amigo pero tiene su explicación. Si observamos los dos productos 1.6.6 y 2.2.9 veremos que en ambos aparecen dos números repetidos (hermanos gemelos o mellizos),en este momento comprendemos que la respuesta "La mayor toca el piano" nos conduce a la solución "2,2,9" ya que la otra alternativa es imposible

SOLUCIÓN ACTIVIDAD 3
Vamos a utilizar un poco de cálculo algebraico. Supongamos que el número de tres cifras es "abc".Expresamos este número como potencias de 10: a.102+b.10+c. En orden inverso seria cba= c.102+b.10+a. Los restamos (suponiendo a>c): (a.102+b.10+c)- (c.102+b.10+a)=(a-c).102+(c-a)= (a-c)(100-1)=(a-c).99. Es decir, siempre se obtiene un múltiplo de 99. Analicemos estos múltiplos: 99.1=99=099 99.2=198 99.3=297 99.4=396 . . Observamos que todos tienen propiedades comunes: *la cifra de las decenas siempre es un nueve *la cifra de las unidades y las centenas suman nueve Es evidente que nos basta con conocer la cifra de las unidades (o centenas) para "adivinar" el número resultante.

SOLUCIÓN ACTIVIDAD 4
Utilizamos de nuevo el cálculo algebraico. Supongamos que el número de tres cifras es "abc". Escrito como potencias de 10: a.102+b.10+c. Escribimos el mismo número a continuación: "abcabc". Es decir, abcabc= a.105+b.104+c.103+a.102+b.10+c= a(105+102)+b(104+10)+c(103+1)= =a.102(103+1)+b.10(103+1)+c(103+1)= (a.102+b.10+c).1001 El resultado siempre es el número inicial multiplicado por 1001. Descomponiendo el número 1001 en factores primos se obtiene que 1001=7.11.13 con lo cual queda aclarado el resultado de este juego.

SOLUCIÓN ACTIVIDAD 5
La herencia del Jeque En primer lugar hagamos unas cuantas reflexiones sobre el problema: * Si sumamos una mitad, una tercera parte y una novena parte, no se obtiene el total de los 17 camellos (debería ser 17/17) Efectivamente: 1/2 + 1/3 + 1/9 = (9+6+2)/18 = 17/18 * El número 17 (primo) no es múltiplo común de 2, 3 y 9. * Se debe hacer el reparto sin matar ningún camello. Evidentemente, el problema no tiene solución tal y como se presenta. Sin embargo, el cadí intentó dar una solución lo mas aproximada posible y que dejase contentos a los hijos. Se dio cuenta que añadiendo otro camello se obtenía un número (18) múltiplo de 2, 3 y 9 que permitía hacer el reparto exacto y además le permitía recuperar el camello añadido (la suma de las tres fracciones era 17/18, de 18 camellos se repartían 17).